lesson17.tex

\addcontentsline{toc}{chapter}{Занятие 17. Центральная предельная теорема}
\chapter*{Занятие 17. Центральная предельная теорема}

\addcontentsline{toc}{section}{Контрольные вопросы и задания}
\section*{Контрольные вопросы и задания}

\subsubsection*{Сформулируйте центральную предельную теорему,
                запишите центральную предельную теорему для последовательности испытаний Бернулли.}

Центральная предельная теорема.
$ \xi_1, \dotsc, \xi_n$ -- независимые одинаково распределённые случайные величины,
$M \xi_1 = a, \,
  D \xi_1 = \sigma^2 < \infty $.
Тогда
$$ \frac{S_n - MS_n}{ \sqrt{D \xi_1}} \overset{d}{ \rightarrow } N \left( 0, 1 \right), \,
  n \to \infty,$$
где
$$S_n =
  \sum \limits_{i = 1}^n \xi_i.$$

Подставляя значения математического ожидания и дисперсии получим
$$ \frac{S_n - na}{ \sqrt{n}} \overset{d}{ \rightarrow } N \left( 0, \sigma^2 \right), \
  n \to \infty.$$

Пусть $ \left\{ \varepsilon_k \right\} $ ---
последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких, что
$$ \varepsilon_k =
  \begin{cases}
    1, \qquad p, \\
    0, \qquad 1 - p.
  \end{cases}$$
Тогда
$$ \frac{S_n - np}{ \sqrt{n}} \overset{d}{ \rightarrow }
  N \left( 0, p \left( 1 - p \right) \right).$$

Перенесём $p \left( 1 - p \right)$ влево
$$ \frac{S_n - np}{ \sqrt{n} \sqrt{p \left( 1 - p \right) }} \overset{d}{ \rightarrow }
  N \left( 0, 1 \right).$$

\addcontentsline{toc}{section}{Аудиторные задачи}
\section*{Аудиторные задачи}

\subsubsection*{17.3}

\textit{Задание.} Пусть $ \xi $ --- случайная величина со стандартным нормальным распределением.
Пользуясь таблицей стандартного нормального распределения найдите:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item вероятность $P \left( \xi \leq 2.2 \right) $;
\item такое $x$, что $P \left( \xi > x \right) = 0.9$.
\end{enumerate}

\textit{Решение.} $ \xi \sim N \left( 0 ,1 \right) $.
Найдём вероятности
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $P \left( \xi \leq 2.2 \right) =
        1 -P \left( \xi > 2.2 \right) =
        1 - \Phi_t \left( 2.2 \right) =
        1 - 0.014 =
        -.986$;
\item изобразим ситуацию на рисунке \ref{fig:173}.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=.4\textwidth]{./pictures/17_3.png}
  \caption{Площадь под гауссианой}
  \label{fig:173}
\end{figure}

Площадь каждой половины под графиком равна $0.5$.
Отсюда следует, что $x < 0$.

Получаем, что $ \Phi_t \left( -x \right) = 0.1$.

Ещём в таблице значений $-x = 1.18$.
Значит, $x = -1.18$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{17.4}

\textit{Задание.}
Пусть $S_{100}$ --- число гербов, которые выпали при 100 подбрасываниях правильной монеты.
С помощью центральной предельной теоремы приближённо вычислите вероятности:
$$P \left( S_{100} < 45 \right), \,
  P \left( 45 < S_{100} < 55 \right), \,
  P \left( S_{100} > 63 \right).$$

\textit{Решение.} Пусть $ \xi_i = \mathbbm{1}$ \{при $i$-м подбрасывании выпал герб\}.
Тогда
$$S_{100} =
  \sum \limits_{i = 1}^{100} \xi_i.$$

Математическое ожидание введённой случайной величины совпадает с вероятностью того, что выпал герб
$$M \xi_i =
 \frac{1}{2}.$$

Дисперсия равна
$$D \xi_i =
  \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =
  \frac{1}{4}.$$

Для суммы
$$MS_{100} = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50, \,
  DS_{100} = \frac{100}{4} = 25.$$

Найдём первую вероятность
$$P \left( S_{100} < 45 \right) =
  P \left(
      \frac{S_{100} - MS_{100}}{ \sqrt{DS_{100}}} < \frac{45 - MS_{100}}{ \sqrt{DS_{100}}}
    \right).$$
Первая дробь в скобрах примерно равна случайной величине
$$ \eta \to
  N \left( 0, 1 \right)$$
по центральной предельной теореме
$$P \left( S_{100} < 45 \right) =
  P \left( \eta < \frac{45 - 50}{ \sqrt{25}} \right) =
  P \left( \eta < -1 \right) =
  P \left( \eta > 1 \right) =
  0.159.$$

Следующая вероятность равна
$$P \left( 45 < S_{100} < 55 \right) =
  P \left( -1 < \eta < 1 \right) =
  1 - 2 \Phi_t \left( 1 \right) =
  1 - 2 \cdot 0.159 =
  0.682.$$

Последняя верноятность из таблицы равна
$$P \left( S_{100} > 63 \right) =
  P \left( \eta > \frac{13}{5} \right) =
  P \left( \eta > 2.6 \right) =
  0.005.$$

\subsubsection*{17.5}

\textit{Задание.}
Пусть $ \left\{ \xi_n \right\}_{n \geq 1}$ ---
последовательность независимых одинаково распределённых
случайных величин с распределением Бернулли с параметром
$$p =
  \frac{1}{2},$$
и пусть $S_k = \xi_1 + \dotsc + \xi_k$.
Найдите такое $k$, чтобы
$$P \left( \left| S_k - kp \right| > 1000 \right) >
  0.0455.$$

\textit{Решение.} Математическое ожидание суммы $S_k$ равно
$$MS_K =
  kp =
  k \cdot \frac{1}{2}.$$

Дисперсия равна
$$DS_k =
  k \cdot \frac{1}{4}.$$

Записываем вероятность в таком виде, чтобы можно было применить центральную предельную теорему
$$P \left( \left| S_k - \frac{k}{2} \right| > 1000 \right) =
  P \left(
      \left| \frac{S_k - \frac{k}{2}}{ \sqrt{ \frac{k}{4}}} \right| > \frac{2000}{ \sqrt{k}}
    \right) \approx
  P \left( \left| \eta \right| > \frac{2000}{ \sqrt{k}} \right) >
  0.0455,$$
так как
$$ \frac{S_k - \frac{k}{2}}{ \sqrt{ \frac{k}{4}}} \approx
  \eta \sim
  N \left( 0, 1 \right).$$

Нарисуем график (рис. \ref{fig:175}), закрасим площадь, котороя соответствует тому, что
$$ \left| \eta \right| >
  \frac{1000}{ \sqrt{k}} =
  x.$$

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=.4\textwidth]{./pictures/17_5.png}
  \caption{Площадь под гауссианой}
  \label{fig:175}
\end{figure}

Тогда
$$2 \Phi_t \left( \frac{2000}{ \sqrt{k}} \right) >
  0.0455.$$

Тогда табличное
$$ \Phi_t \left( \frac{2000}{ \sqrt{k}} \right) >
  0.0275.$$

В таблице значений ищем $0.0275 \approx 0.028$.
Получается
$$ \frac{2000}{ \sqrt{k}} <
  1.91.$$

Отсюда
$$ \sqrt{k} >
  \frac{2000}{1.91} \approx
  \frac{2000}{2} =
  1000.$$
Тогда $k > 10000000$.

\subsubsection*{17.6}

\textit{Задание.}
Найдите вероятность того, что в случайном наборе из 10 000 цифр цифра 3 появится не больше 931 раза.

\textit{Решение.} Есть $10000 = N$ испытаний.

$ \xi_i = \mathbbm{1} \left\{ A_i \right\},$
где $A_i =$ \{в $i$-м испытании появилась тройка\}.
$$M \xi_i =
  P \left( A_i \right) =
  \frac{1}{10}.$$

Дисперсия введённой случайной величины равна
$$D \xi_i =
  \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} =
  \frac{9}{100}.$$

Введём
$$S_{10000} =
  \sum \limits_{i = 1}^{10000} \xi_i.$$
Тогда математическое ожидание такое суммы равно
$$MS_{10000} =
  10000 \cdot \frac{1}{10} =
  1000,$$
а дисперсия $DS_{10000} = 900$.
Таким образом,
$$P \left( S_{10000} \leq 931 \right) =
  P \left(
    \frac{S_{10000} - MS_{10000}}{ \sqrt{DS_{10000}}} \leq \frac{931 - MS_{10000}}{ \sqrt{DS_{10000}}}
  \right).$$
Подставим значения математического ожидания и дисперсии
$$P \left( S_{10000} \leq 931 \right) =
  P \left( \frac{S_{10000} - 1000}{30} \leq \frac{931 - 1000}{30} \right).$$
Упростим выражение справа
$$P \left( S_{10000} \leq 931 \right) =
  P \left( \frac{S_{10000} - 1000}{30} \leq -\frac{23}{10} \right) =
  \Phi_t \left( 2.3 \right) =
  0.011.$$

\subsubsection*{17.8}

\textit{Задание.} В некоторой группе людей дальтоники составляют в среднем 1\% людей.
Насколько большой должна быть выборка,
чтобы вероятность наличия в ней хотя бы одного дальтоника была не меньшей чем $0.95$?

\textit{Решение.} $n$ --- размер выборки.

$ \xi_i = \mathbbm{1}$ \{$i$-тый человек является дальтоником\}.

Тогда количество дальтоников в выборке из $n$ людей
$$S_n =
  \sum \limits_{i = 1}^n \xi_i.$$

Математическое ожидание равно
$$MS_n =
  \frac{n}{100},$$
потому что
$$M \xi_i =
  \frac{1}{100}.$$

Дисперсия случайной величины равна
$$D \xi_i =
  \frac{1}{100} \cdot \frac{99}{100} =
  \frac{99}{10000} \approx
  \frac{1}{100}.$$

Тогда
$$DS_n \approx
  \frac{n}{100}.$$

Нужно, чтобы выполнялось $P \left( S_n \geq 1 \right) \geq 0.95$.
Из этого условия найдём $n$.

Преобразовываем событие в вероятности так, чтобы применить центральную предельную теорему
$$P \left( S_n \geq 1 \right) =
  P \left\{
    \left( S_n - \frac{n}{100} \right) \cdot \frac{ \sqrt{100}}{\sqrt{n}} \geq
    \frac{1 - \frac{n}{100}}{ \sqrt{ \frac{n}{100}}}
  \right\}.$$
То, что стоит до знака <<не меньше>>, примерно равно случайной величине
$ \eta \to N \left( 0, 1 \right) $.
Обозначим правую часть неравенства через $x$.

Таблично это будет выглядеть так $ \Phi_t \left( -x \right) < 0.05$.

В таблице ищем значение.
Это будет $-x > 1.65, \, x < -1.65$.

Нужно теперь решить квадратное уравнение
$$ \frac{1 - \frac{n}{100}}{ \sqrt{ \frac{n}{100}}} < -1.65.$$

Сделаем замену $ \sqrt{n} = t$ и умножим обе части неравенства на знаменатель и на $-100$,
а также перенесём всё влево.
Получим $t^2 - 16.5t - 100 > 0$.
Дискриминант соответствующего уравения равен
$$D =
  \left( 16.5 \right)^2 + 4 \cdot 100 =
  272.25 + 400 =
  672.25 \approx
  \left( 25.93 \right)^2.$$
Находим корень (отрицательный не подходит)
$$t =
  \frac{16.5 + 25.93}{2} =
  21.215.$$
Возвращаемся к замене $ \sqrt{n} > 21.215$, откуда $n >  \left( 21.215 \right)^2 \approx 450$.

\subsubsection{17.9}

\textit{Задание.} Некоторое село насчитывает 2500 жителей.
Каждый из них в среднем 6 раз в меесяц ездит на электричке в город,
выбирая дни поездок по случайным причинам и независимо от других жителей.
Какую наименьшую ёмкость должна иметь электричка,
чтобы она переполнялась в среднем не чаще одного раза за сто дней
(электричка курсирует раз в сутки).

\textit{Решение.} В месяце 30 дней.
Введём случайную величину $ \xi_i = \mathbbm{1}$ \{$i$-й человек в определённый день месяца едет в город\}.

По условию задачи
$$M \xi_i =
  \frac{6}{30} =
  \frac{1}{5}$$
--- это вероятность того, что человек едет в город.

Тогда дисперсия
$$D \xi_i =
  pq =
  \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} =
  \frac{4}{25},$$
где $p$ --- вероятность того, что человек едет в город, $q = 1 - p$ --- вероятность того,
что человек не едет в город.

$S_{2500} = \xi_1 + \dotsc + \xi_{2500}$ --- количество занятых мест в электричке.

$$MS_{2500} =
  \frac{2500}{5} =
  500,$$
в среднем будет ездить 500 людей в день, а дисперсия
$$DS_{2500} =
  \frac{2500 \cdot 4}{25} =
  400.$$

То, что случилось переполнение, означает, что $S_{2500} \geq x$, где $x$ ---
количество мест в электричке.

$$P \left\{ S_{2500} \geq x \right\} <
  \frac{1}{100}.$$

Согласно с центральной предельной теоремой,
$$ \frac{S_{2500} - MS_{2500}}{ \sqrt{DS_{2500}}} =
  \eta \sim
  N \left( 0, 1 \right).$$

В неравенстве под знаком вероятности делаем так, чтобы там возникла $ \eta $.
Подставляем значения
$$P \left\{ \eta \geq \frac{x - 500}{20} \right\} <
  \frac{1}{100}.$$

Рисуем график плотности нормального закона (рис. \ref{fig:179}).

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=.4\textwidth]{./pictures/17_9.png}
  \caption{Площадь под гауссианой}
  \label{fig:179}
\end{figure}

Это табличное значение
$$ \Phi_t \left( \frac{x - 500}{20} \right) <
  \frac{1}{100} =
  0.01.$$

Из таблицы нормального распределения находим, что
$$ \frac{x - 500}{20} >
  2.33.$$

Умножим правую и левую части на знаменатель $x - 500 > 46.6$.

Отсюда $x > 546.6.$

Наименьшее $x = 547$.

\subsubsection{17.10}

\textit{Задание.} Ресторан обслуживает 400 посетителей ежедневно.
В среднем 20\% посетителей заказывают на десерт кусок яблочного пирога.
Укажите границы,
в которых с вероятностью не меньшей чем $0.95$
лежит количество заказанных за день кусков яблочного пирога.
Сколько посетителей в среднем должен ежедневно обслуживать ресторан,
чтобы с вероятностью $0.95$ количество заказанных кусков яблочного пирога была не меньшей чем 20?

\textit{Решение.} $ \xi_i = \mathbbm{1}$ \{$i$-й человек заказал яблочный пирог\}.

Тогда количество кусков пирока, которые заказали за день --- это будет
$$S_{400} =
  \sum \limits_{i = 1}^{400} \xi_i.$$

Количество пирогов колеблется относительно своего среднего
$$M \xi_i = \frac{1}{5}, \,
  MS_{400} = \frac{400}{5} = 80,$$
соответственно
$$D \xi_i = \frac{4}{25}, \,
DS_{400} = \frac{400 \cdot 4}{25} = 64.$$

Нужно оценить $x_1$ и $x_2$ в вероятности $P \left( x_1 < S_{400} < x_2 \right) \geq 0.95$.

Оценить сразу 2 параметра мы не можем.

Будем искать у виде $S_{400} = 80 \pm x$.
Этот $x$ и будем искать.


$P \left( \left| S_{400} - 80 \right| < x \right) \geq 0.95$.

Свели задачу к задаче с одним параметром.

Чтобы применить центральную предельную теорему, нужно поделить на корень из дисперсии
$$P \left( \frac{S_{400} - 80}{8} < \frac{x}{8} \right) \geq
  0.95.$$

Это будет площадь под гауссианой между $- x / 8$ и $x / 8$.
Из неравенства
$$1 - 2 \Phi_t \left( \frac{x}{8} \right) \geq
  0.95$$
ищем неравенство для функции
$$ \Phi_t \left( \frac{x}{8} \right) \leq
  0.025.$$

В таблице находим
$$ \frac{x}{8} \geq
  1.96 \approx
  2.$$

Значит, $x > 16$.

Количество пирогов должно быть от 64 до 96.

\addcontentsline{toc}{section}{Домашнее задание}
\section*{Домашнее задание}

\subsubsection*{17.11}

\textit{Задание.} Пусть $ \xi $ --- случайная величина со стандартным нормальным распределением.
Пользуясь таблицей стандартного нормального распределения найдите:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item вероятность $P \left( \xi \in \left[ -3, 1 \right] \right) $;
\item такое $x$, что $P \left( \left| \xi \right| \leq x \right) = 0.9$.
\end{enumerate}

\textit{Решение.}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Разобъём искомую вероятность на разность двух
$$P \left( \xi \in \left[ -3, 1 \right] \right) =
  P \left( \xi \geq -3 \right) - P \left( \xi > 1 \right) =
  \Phi_t \left( -3 \right) - \Phi_t \left( 1 \right).$$
Преобразуем первое слагаемое, чтобы был положительный аргумент
$$P \left( \xi \in \left[ -3, 1 \right] \right) =
  1 - \Phi_t \left( 3 \right) - \Phi_t \left( 1 \right) =
  1 - 0.00135 - 0.0159 =
  0.83965;$$
\item из условия находим, что $1 - 2 \Phi_t \left( x \right) = 0.9$.
Отсюда
$$2 \Phi_t \left( x \right) =
  1 - 0.9 =
  0.1.$$
Делим на $2$ и получаем $ \Phi_t \left( x \right) = 0.05$.
В таблице находим, что
$$x =
  1.645.$$
\end{enumerate}

\subsubsection*{17.12}

\textit{Задание.}
Пусть $S$ --- число гербов, что выпали при 1 000 000 подбрасываниях правильной монеты.
Оцените вероятность $P \left( 499000 < S < 501000 \right) $:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item с помощью неравенства Чебышева;
\item с помощью центральной предельной теоремы.
\end{enumerate}

\textit{Решение.} Пусть $ \xi_i = \mathbbm{1}$ \{при $i$-м подбрасывании выпал герб\}.
Тогда
$$S =
  \sum \limits_{i = 1}^{1000000} \xi_i.$$

Математическое ожидание введённой случайной величины совпадает с вероятностью того, что выпал герб
$$M \xi_i =
  \frac{1}{2}.$$

Дисперсия равна
$$D \xi_i =
  \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =
  \frac{1}{4}.$$

Для суммы
$$MS = 1000000 \cdot \frac{1}{2} = 500000, \,
  DS = \frac{1000000}{4} = 250000.$$

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Воспользуемся неравенством Чебышева для дисперсии
$$P \left( \left| \xi - M \xi \right| \geq \varepsilon \right) \leq
  \frac{D \xi }{ \varepsilon^2}$$
или
$$P \left( \left| \xi - M \xi \right| < \varepsilon \right) \geq
  1 - \frac{D \xi }{ \varepsilon^2}.$$

Отнимем от всех частей неравенства математическое ожидание суммы
\begin{equation*}
  \begin{split}
    P \left( 499000 < S < 501000 \right) =
    P \left( 499000 - MS < S - MS < 501000 - MS \right) = \\
    = P \left( 499000 - 500000< S - MS < 501000 - 500000 \right) = \\
    = P \left( -1000 < S - MS < 1000 \right) =
    P \left( \left| S - MS \right| < 1000 \right) \geq \\
    \geq 1 - \frac{DS}{1000^2} =
    1 - \frac{250000}{1000000} =
    1 - 0.25 =
    0.75;
  \end{split}
\end{equation*}
\item в предыдущем пункте получили,
что
$$P \left( 499000 < S < 501000 \right) =
  P \left( \left| S - MS \right| < 1000 \right).$$
Поделим правую и левую части на корень из дисперсии суммы
$$P \left( 499000 < S < 501000 \right) =
  P \left( \frac{ \left| S - MS \right| }{ \sqrt{DS}} < \frac{1000}{ \sqrt{DS}} \right).$$
В правой части подставим значение дисперсии
$$P \left( 499000 < S < 501000 \right) =
  P \left( \frac{ \left| S - MS \right| }{ \sqrt{DS}} < \frac{1000}{500} \right).$$
Поделим в правой части константы
$$P \left( 499000 < S < 501000 \right) =
  P \left( \frac{ \left| S - MS \right| }{ \sqrt{DS}} < 2 \right) =
  1 - 2 \Phi_t \left( 2 \right).$$
Найдём в таблице нормального распределения соответствующее значение
$$P \left( 499000 < S < 501000 \right) =
  1 - 2 \cdot 0.023 =
  1 - 0.046 =
  0.954.$$
\end{enumerate}

\subsubsection*{17.13}

\textit{Задание.}
Пусть $ \xi_1, \xi_2, \dotsc $ ---
последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли с параметром
$$p =
  \frac{1}{2},$$
и пусть $S_k = \xi_1 + \dotsc + \xi_k$.
Найдите такое $k$, что $P \left( \left| S_k - kp \right| > 100 \right) < 0.05$.

\textit{Решение.} Математическое ожидание суммы $S_k$ равно
$$MS_k =
  kp =
  k \cdot \frac{1}{2}.$$

Дисперсия равна
$$DS_k =
  k \cdot \frac{1}{4}.$$

Запишем вероятность в таком виде, чтобы можно было применить центральную предельную теорему
$$P \left( \left| S_k - \frac{k}{2} \right| > 100 \right) =
  P \left(
    \left| \frac{S_k - \frac{k}{2}}{ \sqrt{ \frac{k}{4}}} \right| > \frac{100}{ \sqrt{ \frac{k}{4}}}
  \right) \approx
  P \left( \left| \eta \right| > \frac{200}{ \sqrt{k}} \right) <
  0.05,$$
так как
$$ \frac{S_k - \frac{k}{2}}{ \sqrt{ \frac{k}{4}}} \approx
  \eta \sim
  N \left( 0, 1 \right).$$

Соответствующий график изображён на рисунке \ref{fig:175}, закрашена площадь,
которая соответствует тому, что
$$ \left| \eta \right| >
  \frac{200}{ \sqrt{k}} =
  x.$$

Тогда
$$2 \Phi_t \left( \frac{200}{ \sqrt{k}} \right) < 0.05.$$

Выражаем табличное значение
$$ \Phi_t \left( \frac{200}{ \sqrt{k}} \right) <
  \frac{0.05}{2} =
  0.025.$$

В таблице значений ищем $0.025$.
Это соответствует тому, что
$$ \frac{200}{ \sqrt{k}} >
  1.96.$$

Отсюда
$$ \sqrt{k} <
  \frac{200}{1.96} \approx
  102.04.$$
Подносим в квадрат и получаем $k < 10412.16$.

\subsubsection*{17.14}

\textit{Задание.}
При случайном блуждании на числовой оси частица, стартуя из точки 0,
делает шаг вправо или влево с вероятностями $1 / 2$.
Оцените вероятность того, что после сотого шага частицу будет отдалять от начальной точки не меньше,
чем 10 шагов.

\textit{Решение.} Введём случайную величину, соответствующую перемешению вправо или влево
$$ \xi_i =
  \begin{cases}
    1, \qquad \frac{1}{2}, \\
    -1, \qquad \frac{1}{2}.
  \end{cases}$$
Тогда количество шагов, которые будут отдалять частицу от начальной точки после сотого шага равно
$$S_{100} =
  \sum \limits_{i = 1}^{100} \xi_i.$$

Математическое ожидание введённой случайной величины по определению равно
$$M \xi_i =
  1 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} =
  0.$$

Дисперсия совпадает со вторым моментом
$$D \xi_i =
  M \xi_i^2 =
  1^2 \cdot \frac{1}{2} + \left( -1 \right)^2 \cdot \frac{1}{2} =
  \frac{1}{2} + \frac{1}{2} =
  1.$$

Для суммы $MS_{100} = 100 \cdot 0 = 0, \, DS_{100} = 100 \cdot 1 = 100$.

Найдём вероятность
$$P \left( \left| S_{100} \right| \geq 10 \right) =
  P \left(
    \frac{ \left| S_{100} \right| - MS_{100}}{ \sqrt{DS_{100}}} \geq
    \frac{10 - MS_{100}}{ \sqrt{DS_{100}}}
  \right).$$

Первая дробь стремится к случайной величине $ \eta \sim N \left( 0, 1 \right) $
по центральной предельной теореме.
$$P \left( \left| S_{100} \right| \geq 10 \right) =
  P \left( \eta \geq \frac{10 - 0}{ \sqrt{100}} \right) =
  P \left( \eta \geq \frac{10}{10} \right) =
  P \left( \eta \geq 1 \right) =
  \Phi_t \left( 1 \right).$$
В таблице нормального распределения находим значение для единицы
$$P \left( \left| S_{100} \right| \geq 10 \right) =
  0.159.$$

\subsubsection*{17.15}

\textit{Задание.}
В компании-авиаперевозчике оценили, что в среднем 4\% билетов, проданных на авиарейс,
остаются неиспользованными.
Как следствие, компания выбрала следующую стратегию: продавать 100 билетов на самолёт,
который имеет 98 мест.
Найдите вероятность того, что каждому пассажиру, который окажется на борту самолёта, найдётся место.

\textit{Решение.} $ \xi_i = \mathbbm{1}$\{$i$-й пассажир зашёл на борт самолёта\}, при этом
$$ \xi_i =
  \begin{cases}
    1, \qquad 0.96, \\
    0, \qquad 0.04,
  \end{cases}$$
так как 4\% из ста билетов остаются неиспользованными.

Тогда количество пассажиров, которые окажутся на борту самолёта, --- это будет
$$S =
  \sum \limits_{i = 1}^{100} \xi_i.$$

Все $ \xi_i$ имеют математическое ожидание $M \xi_1 = 0.96$ и дисперсию
$$D \xi_1 =
  0.96 \cdot 0.04 =
  0.0384.$$

Тогда для суммы $MS = 100 \cdot 0.96 = 96$ и $DS = 100 \cdot 0.0384 = 3.84$.

Нужно найти вероятность $P \left( S \leq 98 \right)$.

Чтобы применить центральную предельную теорему,
нужно отнять математическое ожидание и поделить на корень из дисперсии обе части неравенства
$$P \left( S \leq 98 \right) =
  P \left( \frac{S - MS}{ \sqrt{DS}} \leq \frac{98 - MS}{ \sqrt{DS}} \right) =
  P \left( \frac{S - 98}{ \sqrt{3.84}} \leq \frac{98 - 96}{ \sqrt{3.84}} \right).$$
Левую часть неравенства заменим на случайную величину $ \eta $
со стандартным нормальным распределением
$$P \left( \frac{S - 96}{ \sqrt{3.84}} \leq \frac{98 - 96}{ \sqrt{3.84}} \right) \approx
  P \left( \eta \leq \frac{2}{1.96} \right) \approx
  P \left( \eta \leq 1.02 \right) =
  1 - P \left( \eta > 1.02 \right).$$
Данная вероятность задаёт табличное значение для стандартного нормального распределения
$$1 - P \left( \eta > 1.02 \right) =
  1 - \Phi_t \left( 1.02 \right) =
  1 - 0.154 =
  0.846.$$

\subsubsection*{17.16}

\textit{Задание.} Каждый из членов жюри, которое состоит из нечётного количества человек,
независимо от дргуих принимает справедливое решение с вероятностью $0.7$.
Какой должна быть численность жюри для того, чтобы решение, принятое большинством голосов,
было справедливым с вероятностью не меньшей чем $0.9$?

\textit{Решение.} $n$ --- размер выборки.

$$ \xi_i =
  \begin{cases}
    1, \qquad 0.7, \\
    -1, \qquad 0.3,
  \end{cases}$$
где $ \xi_i = 1$ означает, что $i$-й член жюри принял справедливое решение,
а $ \xi_i = -1$ --- несправедливое.

Тогда все решения можно учесть в
$$S_n =
  \sum \limits_{i = 1}^n \xi_i.$$

Математическое ожидание равно $M \xi_i = 1 \cdot 0.7 -1 \cdot 0.3 = 0.7 - 0.3 = 0.4$.
Тогда $MS_n = n \cdot M \xi_1 = 0.4n$.

Дисперсия случайной величины равна
$D \xi_i =
  M \xi_i^2 - \left( M \xi_i \right)^2 =
  1^2 \cdot 0.7 + \\
  + \left( -1 \right)^2 \cdot 0.3 - \left( 0.4 \right)^2 =
  0.7 + 0.3 - 0.16 =
  1 - 0.16 =
  0.84$.

Тогда $DS_n = n \cdot D \xi_1 = 0.84n$.

Нужно, чтобы выполнялось $P \left( S_n > 0 \right) \geq 0.9$.
Из этого условия найдём $n$.

Преобразуем событие в вероятности так, чтобы применить центральную предельную теорему
$$P \left( S_n > 0 \right) =
  P \left( \frac{S_n - MS_n}{ \sqrt{DS_n}} > \frac{-MS_n}{ \sqrt{DS_n}} \right) =
  P \left( \frac{S_n - 0.4n}{ \sqrt{0.84n}} \right).$$

То, что стоит до знака <<больше>>, заменим случайной величиной
$$ \eta \to N \left( 0, 1 \right).$$
Обозначим правую часть через $x$.

Таблично это будет выглядеть так $ \Phi_t \left( -x \right) < 0.1$.

В таблице ищем значение.
Это будет $-x \geq 1.18, \, x \leq -1.18$.

Нужно теперь решить квадратное неравенство
$$ \frac{-0.4n}{ \sqrt{0.84n}} \leq -1.18.$$

Сделаем замену $ \sqrt{n} = t$ и умножим обе части неравенства на знаменатель
$-0.4t^2 \leq
  -1.18 \sqrt{0.84}t \approx
  -1.08t$.

Поделим на $ \left( -0.4 \right) $, а также перенесём всё влево $t^2 - 2.7t \geq 0$.

Вынесем $t$ за скобки $t \left( t - 2.7 \right) \geq 0$.
Получаем $t \geq 2.7$.

Возвращаемся к замене $ \sqrt{n} \geq 2.7$, откуда $n \geq 7.31 \geq 9$.

\subsubsection*{17.17}

\textit{Задание.} Некоторый студент получает на экзамене оценку 5 с вероятностью $0.2$, оценку 4 ---
с вероятностью $0.4, \, 3$ --- с вероятностью $0.3$ и 2 --- с вероятностью $0.1$.
За время обучения студент сдаёт 40 экзаменов.
Найдите границы, в которых с вероятностью $0.95$ содержится средний балл студента.

\textit{Решение.}
$$ \xi_i =
\begin{cases}
  5, \qquad 0.2, \\
  4, \qquad 0.4, \\
  3, \qquad 0.3, \\
  2, \qquad 0.1,
\end{cases}$$
где $ \xi_i$ --- оценка студента на $i$-м экзамене.

Тогда сумма всех оценток равна
$$S_{40} =
  \sum \limits_{i = 1}^{40} \xi_i.$$

Среднее
$M \xi_i = 5 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.1 = 1 + 1.6 + 0.9 + 0.2 = \\
  = 3.7, \,
  MS_{40} = 40 \cdot M \xi_1 = 40 \cdot 3.7 = 148$.

Найдём второй момент
$M \xi_i^2 =
  5^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.1 = \\
  = 25 \cdot 0.2 + 16 \cdot 0.4 + 9 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 =
  5 + 6.4 + 2.7 + 0.4 =
  14.5$.
По свойствам дисперсии
$D \xi_i =
  M \xi_i^2 - \left( M \xi_i \right)^2 =
  14.5 - \left( 3.7 \right)^2 =
  14.5 - 13.69 =
  0.81, \,
  DS_{40} = \\
  = 40 \cdot 0.81 = 32.4$.

Нужно найти $x$ из выражения
$$P \left( \frac{ \left| S_{40} - MS_{40} \right| }{40} \leq x \right) =
  0.95.$$

Перенесём 40 вправо и умножим обе части на корень из дисперсии,
чтобы применить центральную предельную теорему
$$P \left(
    \left| \frac{S_{40} - MS_{40}}{ \sqrt{DS_{40}}} \right| \leq \frac{40x}{ \sqrt{DS_{40}}}
  \right) =
  P \left( \left| \eta \right| \leq \frac{40x}{ \sqrt{32.4}} \right),$$
где $ \eta \to N \left( 0, 1 \right) $.
Преобразовываем правую часть
$$P \left( \left| \eta \right| \leq \frac{40x}{ \sqrt{32.4}} \right) \approx
  P \left( \left| \eta \right| \leq 7.027x \right) =
  1 - P \left( \left| \eta \right| > 7.027x \right) =
  1 - 2 \Phi_t \left( 7.027x \right).$$
По условию $1 - 2 \Phi_t \left( 7.027x \right) = 0.95$.

Выразим табличное значение $ \Phi_t \left( 7.027x \right) = 0.025$.

Из таблицы стандартного нормального распределения находим, что
$$7.027x =
  1.96,$$
откуда $x = 0.28$.

Подставляем полученное значение в событие из начальной вероятности
$$ \left| \frac{S_{40}}{40} - \frac{MS_{40}}{40} \right| \leq
  0.28.$$

Математическое ожидание среднего балла совпадает с математическим ожиданием
одной случайной величины
$$ \left| \frac{S_{40}}{40} - 3.7 \right| \leq
  0.28.$$

Получили, что средний балл содержится в пределах
$$3.42 \leq
  \frac{S_{40}}{40} \leq
  3.98.$$

\subsubsection*{17.18}

\textit{Задание.}
Тестовое задание состоит из 64 вопросов, на каждый из которых предлагается два ответа ---
правильный и неправильный.
Студент решил выбирать ответ наугад, подбрасывая монету.
Найдите вероятность того, что при таком подходе студент получит оценку не ниже 4-ки,
если для этого нужно дать правильный ответ на не меньше, чем две третьих вопросов.
Вычислите эту вероятность для случая, когда тестовое задание состоит из 10 вопросов.

\textit{Решение.}
Введём случайную величину, которая равна единице, если студент ответил правильно,
и нулю в другом случае, то есть
$$ \xi_i =
  \begin{cases}
    1, \qquad \frac{1}{2}, \\
    0, \qquad \frac{1}{2}.
  \end{cases}$$

Тогда количество правильных ответов равно
$$S_{64} =
  \sum \limits_{i = 1}^{64} \xi_i.$$

Математическое ожидание введённых случайных величин равно
$$M \xi_i = \frac{1}{2}, \,
  MS_{64} = 64 \cdot M \xi_1 = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32.$$
Дисперсия введённых случайных величин равна
$$D \xi_i = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \,
  DS_{64} = 64 \cdot D \xi_1 = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16.$$

Две третьих вопросов --- это
$$64 \cdot \frac{2}{3} =
  \frac{128}{3} \approx
  43.$$

Нужно найти вероятность
$$P \left( S_{64} \geq 43 \right) =
  P \left( \frac{S_{64} - MS_{64}}{ \sqrt{DS_{64}}} \geq \frac{43 - 32}{4} \right) =
  P \left( \eta \geq 2.75 \right) =
  \Phi_t \left( 2.75 \right) =
  0.003,$$
где $ \eta \to N \left( 0, 1 \right) $.

Если вопросов 10, то две третьих от них --- это
$$ \frac{2}{3} \cdot 10 \approx
  7.$$

Математическое ожидание для такой суммы равно
$$MS_{10} =
  10 \cdot M \xi_1 =
  10 \cdot \frac{1}{2} =
  5,$$
а дисперсия ---
$$DS_{10} =
  10 \cdot D \xi_1 =
  10 \cdot \frac{1}{4} =
  2.5.$$

Нужно найти вероятность
$$P \left( S_{10} \geq 7 \right) \approx
  P \left( \frac{S_{10} - MS_{10}}{ \sqrt{D_S{10}}} \geq \frac{7 - 5}{1.581} \right) \approx
  P \left( \eta \geq 1.27 \right) =
  \Phi_t \left( 1.27 \right) =
  0.098.$$

\subsubsection*{17.19}

\textit{Задание.}
Игральный кубик подбрасывается до тех пор, аж пока сумма очков впервые превысит 700.
Оцените вероятность того, что для этого понадобится:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
  \item больше чем 210 подбрасываний;
  \item меньше чем 190 подбрасываний;
  \item не меньше чем 180 и не больше чем 210 подбрасываний.
\end{enumerate}

\textit{Решение.} Введём случайные величины $ \xi_i$ с распределением
$$P \left\{ \xi_i = k \right\} = \frac{1}{6}, \,
  i = 1, 2, \dotsc, \\
  k = \overline{1, 6}.$$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
  \item Нужно найти вероятность события $S_{210} < 700$.
  Найдём математическое ожидание
  $$M \xi_i =
    \left( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \right) \cdot \frac{1}{6} =
    \frac{21}{6} =
    3.5.$$
  Найдём второй момент
  $$M \xi_i^2 =
    \left( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 \right) \cdot \frac{1}{6} =
    \frac{91}{6} \approx
    15.167.$$
  По свойствам дисперсии
  $D \xi_i =
    M \xi_i^2 - \left( M \xi_i \right)^2 \approx 15.167 - 12.25 =
    2.92$.
  Тогда вероятность равна
  $$P \left( S_{210} < 700 \right) =
    P \left(
      \frac{S_{210} - MS_{210}}{ \sqrt{DS_{210}}} <
      \frac{700 - 210 \cdot 3.5}{ \sqrt{210 \cdot 2.92}}
    \right).$$
  Заменим левую часть неравенства на случайную величину $ \eta \to N \left( 0, 1 \right) $.
  Получим
  $$P \left(
      \frac{S_{210} - MS_{210}}{ \sqrt{DS_{210}}} <
      \frac{700 - 210 \cdot 3.5}{ \sqrt{210 \cdot 2.92}}
    \right) =
    P \left( \eta < \frac{700 - 735}{24.75} \right).$$
  Упростим правую часть неравенства
  $$P \left( \eta < \frac{700 - 735}{24.75} \right) \approx
    P \left( \eta < -1.41 \right) =
    P \left( \eta > 1.41 \right) =
    0.079;$$
  \item нужно найти вероятность
  $$P \left( S_{190} > 700 \right) =
    P \left(
      \frac{S_{190} - MS_{190}}{ \sqrt{DS_{190}}} >
      \frac{700 - 190 \cdot 3.5}{ \sqrt{190 \cdot 2.92}}
    \right) \approx
    P \left( \eta > 1.49 \right).$$
  В таблице находим, что
  $$P \left( \eta > 1.49 \right) =
    0.068;$$
  \item нужно найти вероятность
  $$P \left( S_{180} \leq 700, \, S_{210} \geq 700 \right) =
    1 - P \left( S_{180} > 700 \right) - P \left( S_{210} < 700 \right).$$
  Посчитаем первую вероятность
  $$P \left( S_{180} > 700 \right) =
    P \left(
      \frac{S_{180} - MS_{180}}{ \sqrt{DS_{180}}} >
      \frac{700 - 180 \cdot 3.5}{ \sqrt{180 \cdot 2.92}}
    \right) \approx
    P \left( \eta > 3.05 \right).$$
  Это табличное значение
  $$P \left( \eta > 3.05 \right) \approx
    \Phi_t \left( 3 \right) =
    0.00135.$$
  Тогда исходная вероятность равна
  $$P \left( S_{180} \leq 700, \, S_{210} \geq 700 \right) =
    1 - 0.00135 - 0.079 \approx
    0.92.$$
\end{enumerate}