week4.tex

\section*{Week 4}

\definitie{$\lim\inf$ en $\lim\sup$}{
	Als $\{a_n\}$ niet convergeert:\\
	$M=\sup\{a_n|n\in\N\}\in\R\cup\{\infty\}$\\
	$m=inf\{a_n|n\in\N\}\in\R\cup\{-\infty\}$\\
	$M=+\infty \iff \{a_n\}$ niet naar boven begrensd\\	
	$m=-\infty \iff \{a_n\}$ niet naar beneden begrensd\\	

	$M_n=\sup\{a_k|k\geq n\}$\\
	$m_n=inf\{a_k|k\leq n\}$\\
	$M_1=M \wedge m_1=m$\\
	$\forall n:m_n\leq M_n$\\
	De rij $\{M_n\}$ is dalend ($M_1\leq M_2\leq...$)\\
	omdat $\{a_k|n+1\} \subseteq \{a_k|k\geq n\} \to$\\
	$\sup\{a_k|n+1\} \leq \sup\{a_k|k\leq n\}$\\
	Analoog: $\{m_n\}$ is stijgend\\
	$M_n \geq m \wedge m_n\leq M$\\

	De rij $\{M_n\}$ is dalend en naar beneden begrensd\\
	dus convergent: \\
	$\lim_{n\to\infty}M_n\equiv \lim\sup a_n = (\overline{\lim} a_n)$\\
	De rij $\{m_n\}$ is stijdend en naar boven begrensd\\
	dus convergent: \\
	$\lim_{n\to\infty}m_n\equiv \lim\inf a_n = (\underline{\lim} a_n)$\\
	$ \forall n: m_n \leq M_n \to$\\
	$ \forall n: \lim\inf a_n \leq \lim\sup a_n$\\
	Voor een begrensde rij bestaat $\lim\sup \wedge \lim\inf$\\
	\voorbeeld{
		$\forall n: a_n=(-1)^n \to$\\
		$ M_n = 1 \wedge m_n = -1 \to$\\
		$\lim\sup a_n = 1 \wedge \lim\sup a_n = -1$
	}
}

\lemma{Zij $\{a_{n_k}\}$ een deelrij van $\{a_n\}$
die convergeert naar $x\in\R$,
dan geldt $\lim\inf a_n \leq x \leq \lim\sup a_n$}
\bewijs{
	$M_n=sup\{a_k|k\geq n\}\geq a_n$\\
	Analoog:$m_n \leq a_n$\\
	$m_{n_k} \leq a_{n_k} \leq M_{n_k} \forall k$\\
	$\lim\inf a_n \leq a_{n_k} \leq \lim\sup a_n \forall k$\\
	$\lim\inf a_n \leq x \leq \lim\sup a_n$
}
\gevolg{
	Stel $\lim\inf a_n = \lim\sup a_n = x$\\
	dan is de limiet van elke\\
	convergente deelrij gelijk aan $x$\\
}
\gevolg{
	Als $\lim\sup a_n = \lim\sup a_n=x$\\
	dan is $\{a_n\}$ convergent en $\lim_{n\to\infty}=x$\\ 
	(uit het sandwich principe)
}
\lemma{Stel $\lim_{n\to\infty}a_n=x$\\
dan $\lim\inf a_n = \lim\sup a_n = x$}
\bewijs{
	$a_n \to x$ dus $\forall \epsilon > 0\exists N\forall n>N \abs{a_n -x}<\epsilon\iff$\\
	$x-\epsilon < a_n < x + \epsilon \to$\\
	$x-\epsilon \leq M_n = sup\{a_k|k\geq n\}\leq x+\epsilon \to$\\
	$M_n \rightarrow x$ dus $\lim\sup a_n = x$
}
\subsection*{3.2.5-achtige stellingen voor $\liminf$ en $\limsup$}
\stelling{\\
	$\limsup (a_n+b_n)\leq\limsup a_n+\limsup b_n$\\
	$\liminf (a_n+b_n)\geq\liminf a_n+\liminf b_n$
}
\bewijs{
	$\sup\{a_k+b_k|k\geq n\}\leq\sup\{a_k|k\geq n\}+\sup\{b_k|k\geq n\}$\\
	$\inf\{a_k+b_k|k\geq n\}\geq\inf\{a_k|k\geq n\}+\inf\{b_k|k\geq n\}$
}
\stelling{
	Als $a_n\geq0;b_n\geq0$ dan\\
	$\limsup (a_nb_n)\leq\limsup a_n\cdot\limsup b_n$\\
	$\liminf (a_nb_n)\geq\liminf a_n\cdot\liminf b_n$
}
\bewijs{
	$\sup\{a_kb_k|k\geq n\}\leq\sup\{a_k|k\geq n\}\cdot\sup\{b_k|k\geq n\}$\\
	$\inf\{a_kb_k|k\geq n\}\geq\inf\{a_k|k\geq n\}\cdot\inf\{b_k|k\geq n\}$
}
\stelling{\\
	Als $\forall_n\exists_{m\geq n} a_n\leq b_m$ dan $\limsup a_n\leq \limsup b_n$\\
	Als $\forall_n\exists_{m\geq n} a_n\geq b_m$ dan $\liminf a_n\geq \liminf b_n$
}
\bewijs{
	$\forall_n\exists_{m\geq n}a_n\leq b_m$\\
	$\implies \forall_na_n\leq\sup\{b_m|m\geq n\}$\\
	$\implies \forall_{n_0}\forall_{n\geq n_0}a_n\leq\sup\{b_m|m\geq n\}\leq\sup\{b_m|m\geq n_0\}$\\
	$\implies \forall_n\sup\{a_k|k\geq n\}\leq\sup\{b_k|k\geq n\}$\\
	$\implies \limsup a_n\leq\limsup b_n$\\
	idem voor $\liminf$
}
% \stelling{\\
% 	Als $\limsup a_n< \limsup b_n$ dan $\exists_{n_0}\forall_{n\geq n_0}\exists_{m\geq n} a_n\leq b_m$\\
% }
% \bewijs{
% 	$\limsup a_n<\limsup b_n$\\
% 	$\exists_{n_0}\forall_{n\geq n_0} a_n<\limsup b_k$\\
% 	$\exists_{n_0}\forall_{n\geq n_0}\forall_{m_0}\exists_{m\geq m_0} a_n<b_m$\\
% 	$\exists_{n_0}\forall_{n\geq n_0}\exists_{m\geq n} a_n<b_m$
% }