Questo siderostato costruito da Eichens e Foucault (descritto negli Annales e nella "Raccolta di Lavori") ha la particolare caratteristica di poter regolare dall'esterno, senza turbare il movimento orario dello strumento, sia l'ora che la declinazione, tramite la sapiente applicazione di un sistema "a ruotismo satellite" ben descritto nel Traite de Cinematique di Belanger ).
Questo meccamismo è applicato due volte nel siderostato: nella sezione inferiore, che contiene il meccanismo ad orologeria, e nella sezione superiore, che fa compiere un giro ogni 24 ore alla semi-ruota di declinazione, la quale però può essere ruotata, grazie al suddetto meccanismo, anche perpendicolarmente all'asse orario.
Link a rappresentazione animata, geometricamente corretta, del ruotismo orario (senza ingranaggio satellite): link
- Si può notare come il rapporto tra le velocità di rotazione dei due ingranaggi grandi sia di 10:9, come descritto da Foucault.
- Si può però anche notare che è impossibile che le due coppie di ingranaggi siano tutte coassiali, per via dei diversi diametri di quelli piccoli, che hanno 18 e 20 denti: se i due piccoli sono coassiali, non lo sono i due grandi, di cui questo è un dettaglio dei centri:
Il ruotismo-satellite di Foucalt-Eichens (originale e mia traduzione) è utilizzato in questo stesso strumento due volte:
- una nel meccanismo in alto, per appoggiarsi a uno stesso asse (XX') sia per trasmettere il moto orario di 24 ore che per trasmettere, tramite il tubo esterno all'asse, i cambiamenti manuali di declinazione operati dall'utilizzatore tramite una leva esterna.
- un'altra nel meccanismo in basso, per sommare il moto dell'orologio al movimento manuale comandato dall'utlizzatore tramite una seconda leva esterna.
Il meccanismo viene descritto, menzionato e illustrato in modi diversi nella "Recueil de travaux" e negli "Annales", introducendo anche errori in un testo ed errori diversi in un altro, rendendone piuttosto complicata la comprensione. In più, lo stesso meccanismo viene utilizzato con una piccolissima differenza, a seconda se usato nel meccanismo superiore o inferiore; la variante superiore permette di trasmettere due moti diversi lungo uno stesso asse, in modo indipendente l'uno dall'altro, mentre la variante inferiore permette di sommare due moti diversi usando uno stesso asse.
La figura 3 all'interno del testo degli "Annales" (anzichè in una tavola fuori testo), rappresenta la variante di meccanismo usata per introdurre una variazione positiva o negativa della rotazione oraria senza però influenzare il movimento orario di base.
Mia versione a colori:
A destra è presente una "spina" che collega la ruota di uscita B all'asse interno XX', con il quale diventa solidale; di conseguenza l'asse uscente XX' sarà guidato dalla ruota B, il cui moto risulta dalla combinazione della rotazione della ruota A, guidata dall'orologio, e della ruota conica D, solidale con la ruota C.
Questa variante è illustrata in due modi diversi in due documenti diversi:
Annales:
Recueil des travaux:
Fig.3, Planche 15 (Figura 3, tavola 15), Recueil des Travaux
Notare che in nella seconda versione del disegno, presente nel documento "Recueil de travaux...", è probabilmente presente un errore, che si può notare confrontandolo con un'altra versione del disegno presente negli "Annales":
Nella versione degli Annales è presente una "spina" o "vite" che fissa la ruota c all'asse satellite Y, ma questa spina è assente nel disegno sotto; ma in assenza della spina, la ruota c si limiterebbe a ruotare intorno all'asse Y, senza poter trasmettere il movimento alla ruota B, risultando quindi completamente inutile.
Mia versione a colori, con spina/vite asse Y presente, del disegno di Recueil:
Fig.3, Planche 15 (Figura 3, tavola 15, versione a colori), Recueil des Travaux
Versione ricavata invece dalla Fig. 4 degli Annales, usando invece delle "spine" la colorazione uniforme di ingranaggi e flange:
Un'ulteriore vantaaggio di questa illustrazione è che mostra anche l'asse degli ingranaggi E ed L di modulazione della declinazione, omessi nell'altra immagine.
Entrambi i meccanismi si basano sullo stesso "ruotismo satellite" formato dagli ingranaggi b e c, il cui asse di rotazione Y è inserito nella ruota A e si muove con essa, ma sono leggermente diversi:
- un primo meccanismo, più semplice, prende il movimento principale solo dalla ruota A, azionata da un "regolatore isocrono di precisione" (un orologio), a cui aggiunge/toglie una certa velocità rotazionale tramite una ruota esterna controllata dall'utilizzatore
- un secondo meccanismo, più complesso, aggiunge una ruota A1, coassiale alla ruota A, e un ruotino a1, coassiale al ruotino a che nell'altro meccanismo aziona la ruota A; queste due ruote aggiuntive A1 e a1, unitamente a un differente tipo di fissaggio delle ruote all'asse XX', permettono di far ruotare la ruota finale B alla stessa velocità dell'asse XX' in assenza di intervento dall'esterno, ma di muoverla all'occorrenza temporaneamente più avanti o più indietro, in modo che la semiruota di declinazione ad essa collegata, che ruota con l'asse XX', possa anche ruotare perpendicolarmente all'asse XX', in modo da variare il puntamentro dello strumento (variazione della declinazione).
Vediamo meglio il meccanismo in questa moderna ricostruzione 3d:
Qui la colorazione ha una logica differente rispetto a prima:
- Il colore giallo raggruppa gli ingranaggi che trasmettono il movimento orario principale.
- Il colore celeste raggruppa quelli che permettono di aggiungere/togliere una componente rotazionale a quella di base.
- Il colore verde raggruppa gli ingranaggi che sommano insieme i due contributi; questo movimento viene poi trasmesso a un meccanismo successivo che vedremo dopo (TBW - ruotismo superiore di declinazione)
Possiamo rappresentare questo primo meccanismo in forma più compatta:
N.B.: E' importante notare che in questa variante del meccanismo la ruota B è libera, non è collegata all'asse XX', quindi B e XX' possono avere velocità diverse e indipendenti l'una dall'altra.
Foucault (o forse Eichens?) calcolò queste formule:
1:
da cui:
1a:
che può essere espressa anche come:
1b:
dove:
-
$${v_B}$$ = velocità di B -
$${V_A}$$ = velocità di A
Sulla quantità al numeratore possiamo porre due condizioni:
Condizione 1
Per avere verso di
2:
quindi:
3:
Condizione 2
Per avere esattamente
dovrà essere:
4:
Cioè:
5:
da cui:
6:
Relazione che è soddisfatta, ad esempio, prendendo:
7:
8:
Formule originali:
Infine, anche se Foucault non lo specifica, è necessario che le ruote b, B, c e C soddisfino un'ulteriore condizione, affinchè b e c siano coassiali, formando così un unico meccanismo satellite:
9: b + B = c + C
Quindi abbiamo complessivamente queste 3 condizioni:
- 3:
$$\frac{B}{b} > \frac{C}{c}$$ - 9:
$$b + B = c + C$$ - 5:
$$\frac{B}{b} - \frac{C}{c} = \frac{9}{10}\frac{B}{b}$$
Le ho elencate in ordine diverso rispetto a quello in cui le ho prima mostrate perchè la (5) può forse essere modificata, a condizione di modificare anche quella su A-a-A1-a1, per eventualmente provare a ridurre le dimensioni delle ruote a 200 denti, che rendono il meccanismo un po' ingombrante.
Secondo i miei calcoli, tutte queste condizioni sono soddisfatte, ad esempio, per questi valori:
- b = 1
- B = 5
- c = 4
- C = 2
Infatti:
La (3) diventa:
La (9) diventa:
E la 5 diventa:
La tabella che segue mostra le combinazioni possibili di ingranaggi che soddisfino le condizioni viste:
| c | C | b | B |
|---|---|---|---|
| 32 | 16 | 8 | 40 |
| 40 | 20 | 10 | 50 |
| 48 | 24 | 12 | 60 |
| 56 | 28 | 14 | 70 |
| 64 | 32 | 16 | 80 |
| 72 | 36 | 18 | 90 |
| 80 | 40 | 20 | 100 |
| 88 | 44 | 22 | 110 |
| 96 | 48 | 24 | 120 |
| 104 | 52 | 26 | 130 |
| 112 | 56 | 28 | 140 |
| 120 | 60 | 30 | 150 |
| 128 | 64 | 32 | 160 |
| 136 | 68 | 34 | 170 |
| 144 | 72 | 36 | 180 |
| 152 | 76 | 38 | 190 |
| 160 | 80 | 40 | 200 |
Notare come per ogni riga risulta vera la (9) c+C = b+B, che vale 48. Ovviamente sono vere anche la (3) e la (5):
- 3:
$$\Large{\frac{B}{b} > \frac{C}{c}}$$ - B/b = 5
- C/c = 1/2
- 5:
$$\frac{B}{b} - \frac{C}{c} = \frac{9}{10}\frac{B}{b}$$ $$\frac{40}{8} - \frac{16}{32} = \frac{9}{10}\frac{40}{8}$$ $$5 - \frac{1}{2} = 5\frac{9}{10}$$ $$\frac{9}{2} = \frac{45}{10}$$ $$\frac{9}{2} = \frac{9}{2}$$
Foucault non fornisce indicazioni sulle dimensioni degli ingranaggi del meccanismo di regolazione della declinazione, ma possiamo fare una stima:
Di queste 3 condizioni:
- 3:
$$\Large{\frac{B}{b} > \frac{C}{c}}$$ - 9:
$$b + B = c + C$$ - 5:
$$\Large\frac{B}{b} - \frac{C}{c} = \frac{9}{10}\frac{B}{b}$$
Le prime due sono indispensabili; sulla (5) si può lavorare; bisogna tenere presente che la (5) è dettata dalla necessità che la ruota finale B abbia velocità pari a 9/10 della velocità di A:
Questo però solo perchè A ha velocità pari a:
10:
dove
11:
ma la (10) è dovuta a come è strutturato il secondo meccanismo, dotato della coppia aggiuntiva a1-A1, oltre ad a-A; per questo meccanismo valgono infatti le relazioni:
12:
e
13:
Essendo la ruota A1 solidale con l'asse XX', la velocità di A1 è anche la velocità dell'asse XX', e risulterà pari a:
14:
e:
15:
Quindi la (13) fa sì che
- (13) => (14)
- (12) => (11)
cioè:
-
$$\frac{a1}{A1} = 0.09$$ =>$$V_{A_1} = V_{XX'} = 0.09V_C$$ -
$$\frac{a}{A} = 0.10$$ =>$$v_B = 0.09 V_C$$
Ma proviamo a generalizzare: riprendiamo la 1b:
1b:
La possiamo anche riscrivere come:
16:
Mentre la velocità dell'asse XX' è:
17:
Questo significa che, affinchè le due velocità siano uguali, è necessario che:
18:
Proviamo a rendere le cose più semplici rispettando l'ipotesi A=A1: possiamo allora semplificare a:
19:
cioè
20:
Questo vorrebbe dire che dovrebbe essere possibile rendere uguali
Per i succitati valori:
- b = 1
- B = 5
- c = 4
- C = 2
e:
- a1 = 18
- a = 20
La (20) diventa:
21:
che è quanto riportato nei testi originali di Foucault.
Quindi complessivamente le condizioni necessarie dovrebbero essere:
- 3:
$$\Large{\frac{B}{b} > \frac{C}{c}}$$ - 9:
$$b + B = c + C$$ - 20:
$$\Large{\frac{a_1}{a} = \frac{Bc-Cb}{Bc}}$$
Sviluppiamo la (3):
3a:
3b:
Sviluppiamo la (9):
9a:
e mettiamola la (9a) nella (20), tenendo conto anche della 3b:
- 3b:
$$\Large{b < \frac{cB}{C}}$$ - 22:
$$\Large{\frac{a_1}{a} = \frac{Bc-C(c + C - B)}{Bc}} = 1-\frac{C(c + C - B)}{Bc}$$
Queste dovrebbero essere le uniche condizioni da rispettare, a prescindere dalle dimensioni di A e A1.
C'è però da considerare che il satellite deve essere attaccato alla ruota A, quindi sicuramente il suo asse YY' dovrà distare dall'asse XX' meno del raggio di A; ma la distanza di YY' da XX' è data dalla somma di b+B o la somma di c+C (che sono uguali), quindi un'altra condizione è:
23: b+B < A
Quindi alla fine le condizioni sarebbero:
- 3b:
$$\Large{b < \frac{cB}{C}}$$ - 23:
$$A > b+B$$ - 9:
$$b + B = c + C$$ - 22:
$$\Large{\frac{a_1}{a} = \frac{Bc-C(c + C - B)}{Bc}} = 1-\frac{C(c + C - B)}{Bc}$$
C'è però un'altra condizione importante, che però non saprei come scrivere matematicamente: tutti i numeri devono essere interi, perchè gli ingranaggi ovviamente non possono avere un numero frazionario di denti! Quindi è vero che basta rispettare le 3 condizioni qui sopra, ma solo se tutti i valori risultanti, cioè b, A, a1 e a, sono interi se vengono presi interi i valori di input B, C e c.
Secondo i miei calcoli le dimensioni assolute di a, a1, A e A1 non sono obbligatorie: quello che conta sono i rapporti, per l'esattezza:
- A1 e A devono avere stesso numero di denti
- a1 e a devono essere in rapporto 9:10
Questo è vero per i valori forniti da Foucault:
- A1 = A = 200
- a1 = 18
- a = 20
Il risultato, come detto è che le velocità di A1 e A sono in rapporto 9:10, ma lo stesso risultato pare possano essere ottenuti con:
Na è possibile anche ridurre le dimensioni di A1 e A:
C'è però da tener conto, nel ridurre A e A1, che A deve essere comunque abbastanza grande da poter ospitare il satellite:
Questo significa che C/2 + c/2 e B/2 + b/2 devono essere minori del raggio di A, e le dimensioni minime le decide C, che è la ruota più piccola, che probabilmente non può avere meno di 8 denti, e dovendo essere c = 2*C, significa C = 8 e c = 16, quindi la somma dei raggi verrebbe 4+8 = 12. Restano altri calcoli da fare...
L'altro meccanismo in cui è inserito il ruotismo satellite è quello superiore del siderostato di Foucault, quello che si occupa, principalmente, di far eseguire una rotazione ogni 24 ore all'asse dello strumento:
Schematicamente:
.stl)
Nuovi calcoli:
Secondo i miei calcoli:
- l'asse XX' di uscita dell'anticipatore ha una velocità pari a L/200 di
$V_L$ - questa velocità è ulteriormente ridotta di un fattore 1/K dalla coppia worm-gear in alto:
- Il perno che supporta le ruote K, a e a1 imprime il suo moto alle ruote A e A1, col risultato finale che l'asse XX' finale dell'eliostato avrà una velocità pari a 9/100 dell'asse K.
La velocità finale dell'asse XX' superiore sarà quindi pari a:
cioè
Questo asse XX' dovrà compiere 1 giro ogni 24 ore, ossia 1 giro ogni 1440 minuti, cioè avere una velocità di 0.000694444 RPM:
Questo significa che L deve avere velocità pari a:
Se assumiamo K = 81 e L = 25:
K = 162 e L = 25:
K = 81 e L = 18:
Ora, che velocità hanno le lancette di un orologio?
- ore: 2 giri / giorno = 2 giri / 24 ore = 2 giri / 1440 minuti =
$\frac{2}{3^2 * 2^5 * 5} = 0.001389 RPM$ - minuti: 1 giro / 1 ora = 1 giro / 60 minuti =
$\frac{1}{3 * 2^2 * 5} = 0.0167 RPM$ - secondi: 1 giro / 1 minuto = 1RPM
Uguagliando i 3 casi a VL otteniamo i possibili valori di K:
- Ore:
$K = L * \frac{2}{3^2 * 2^5 * 5} * \frac {3^4 * 2^3}{1000}$ - Minuti:
$K = L * \frac{1}{3 * 2^2 * 5} * \frac {3^4 * 2^3}{1000}$ - Secondi:
$K = L * \frac {3^4 * 2^3}{1000}$