001_Introduction_to_Vectors.qmd

# Introduction to Vectors

## Vectors and Linear Combinations
**线性代数的核心操作是向量加法及向量组合。**

假设两个向量$\boldsymbol{v}$, $\boldsymbol{w}$, 以及两个数值$c$，$d$。可以有下面的线性组合。
$$c\boldsymbol{v} + d\boldsymbol{w} = 
c\begin{bmatrix}
 1 \\ 1 
\end{bmatrix}   +
d\begin{bmatrix}
 2 \\ 3 
\end{bmatrix}   =
\begin{bmatrix}
 c + 2d \\ c + 3d 
\end{bmatrix}
$$

在R语言中，我们可以如下实现。
```{r}
# c()函数可以创建或合并向量
v <- c(1, 1)
w <- c(2, 3)
print(v + w)
```

```{r}
c <- 2 # 这里给c赋值，不用担心，c函数跟c变量R语言可以区分出来，但是一般不要这么做。
d <- 1
print(c * v + d * w)
```

**向量组合符合平行四边形定则，我们试着在坐标轴上将向量组合画出来。**
$$\boldsymbol{w} + \boldsymbol{v} = 
\begin{bmatrix}
 -1 \\ 2 
\end{bmatrix}   +
\begin{bmatrix}
 4 \\ 2 
\end{bmatrix}   =
\begin{bmatrix}
 3 \\ 4 
\end{bmatrix}
$$

```{r, echo=FALSE}
# 定义点的坐标
x <- c(-1, 4, 3)
y <- c(2, 2, 4)

# 绘制图形，不带坐标轴
plot(
    x = x, y = y,
    xlab = "", ylab = "",
    xlim = c(-2, 5), ylim = c(-1, 5),
    axes = FALSE, type = "n"
)

# 去除边框
box(bty = "n")

# 添加x=0和y=0的坐标轴
abline(h = 0, v = 0, col = "black", lwd = 1)

# 手动为x=0和y=0的坐标轴上添加刻度，并标记数值
for (i in seq(-1, 5, 1)) {
    if (i != 0) {
        # y轴上的刻度和数值
        segments(x0 = -0.1, x1 = 0.1, y0 = i, y1 = i)
        text(
            x = -0.3, y = i, labels = i,
            srt = 0, adj = 1, xpd = TRUE
        )
    }
}

for (i in seq(-1, 5, 1)) {
    # x轴上的刻度和数值
    segments(x0 = i, x1 = i, y0 = -0.1, y1 = 0.1)
    text(x = i, y = -0.3, labels = i, xpd = TRUE)
}

# y轴标签水平放置
text(5, -1, "x",
    srt = 0, adj = 1, font = 2, xpd = TRUE
)
text(0, 6, "y",
    font = 2, xpd = TRUE
)

# 从原点到前两个点引出箭头
arrows(
    x0 = 0, y0 = 0, x1 = x[1:2], y1 = y[1:2],
    angle = 20, length = 0.1
)

# 从原点到(3, 4)的点引出粗线并使用steelblue颜色
arrows(
    x0 = 0, y0 = 0, x1 = x[3], y1 = y[3],
    angle = 20, length = 0.1, col = "steelblue", lwd = 2
)

# 引入w到w+v，以及v到w+v的虚线
segments(x[1], y[1], x[3], y[3], lty = 2)
segments(x[2], y[2], x[3], y[3], lty = 2)

# 在点的位置标记线段名称，并加粗
labels <- c(
    expression(bold(w)),
    expression(bold(v)),
    expression(bold(w + v))
)
text(x, y, labels,
    pos = 4, offset = 0.5, font = 2
)

```

## Lengths and Dot Products
**向量的点乘(内积)是向量对应位置元素相乘的和。**
$$
\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix}
                    v_1 \\ v_2 
                    \end{bmatrix}, 
\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix}
                    w_1 \\ w_2 
                    \end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} = v_1w_1 + v_2w_2
$$

:::{.callout-tip}
从上式可知，向量的点乘满足交换律。
:::

**向量的模(magnitude)**
$$
\left|\left| \boldsymbol{v} \right|\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}
$$



## Matrices