25-hyeokbini

[hyeokbini]

🔗 문제 링크

실버 2
돌 게임 4

✔️ 소요된 시간

25분

✨ 수도 코드

최근에 가져온 문제들에 비해서는 비교적 낮은 난이도의 문제를 가져왔습니다. 골드에서 문제 검색하고 골라서 푸는 것보다 실버 1~2에서 랜덤 검색으로 태그 안 까고 문제 푸는 연습을 해보려고 합니다. 첫 시도인데 문제가 묘하게 배울 점이 있는 것 같아서 가져와 봤습니다.

문제에서 뭔가 익숙한 느낌이 나는데, 배스킨라빈스 31 게임이랑 똑같습니다. 배스킨라빈스에서 31을 외치면 지는 것처럼, 문제에서는 마지막 돌을 가져가면 지는 규칙일 때, 숫자가 제시되고 모두 최적의 방법을 썼을 때 누가 승리하는지를 구하는 문제입니다.

일단 어떻게 풀지를 생각해 봤을 때, 브루트포스는 말이 안 됩니다. 각 숫자마다 선택지가 3개가 있다고 러프하게만 생각해도 최악의 경우 3^1000입니다. 따라서 이 방법은 사용해선 안 되고, 규칙성을 관찰해 보았습니다.

우선 구체적인 사례를 생각하기 전에, 어떤 상태(돌이 n개 남은 상태) 에서 다른 상태(돌이 n - 1, n - 3, n - 4개 남은 상태) 로 갔을 때, 이전에 n - 1, n - 3, n - 4의 사례를 구해두었다면, n을 구할 수 있다 가 충족된다면, 전형적인 DP 문제입니다. 따라서 구체적인 사례를 통해 가설이 맞는지 직접 확인해 보았습니다.

우선 돌을 가져갈 수 있는 경우의 수가 1, 3, 4개이므로 기저 사례를 n = 4까지는 만들어 봐야겠다고 생각했습니다.

• n = 1인 경우, 당연히 상근이 집니다. 돌이 하나 남았는데 하나밖에 가져갈 수 없으니까요.
• n = 2인 경우, 창영이 집니다. 이 상황에서는 강제되는 수긴 하지만, 창영을 패배시키는 최선의 수인 1개를 가져간다 라는 선택지를 고르면 창영이 강제로 지게 됩니다.
• n = 3인 경우, 상근이 집니다. 1개를 가져간다면 상근 - 창영 - 상근의 순서로 돌을 가져가 패배하고, 3개를 가져간다면 자연히 패배합니다.
• n = 4인 경우, 창영이 집니다. 수근이 3개를 가져가면 창영이 마지막 돌을, 수근이 1개를 가져가면 창영 3개 or 창영 - 수근 - 창영의 경우의 수로 창영이 지게 됩니다.

이정도로 기저 사례를 만든 뒤, dp테이블을 갱신하기 위해서 어떤 로직을 사용해야 하는가? 를 생각해보면, 문제에서 말하는 최선의 수라는 것은 결국 상대방이 패배하는 수를 강제하게 만드는 수를 선택한다라는 말이 됩니다.

그 말은, 앞쪽에서 적었던 남은 돌 n개라는 상태에서 n - 1, n - 3, n - 4로 갈 수 있는데, 이 수들 중 하나라도 최종적으로 패배하는 수라면, n은 승리가 보장된 수라는 뜻입니다. 거꾸로 이야기해서 내가 어떤 수를 쓰더라도 상대가 승리하는 상태가 된다면, 그 n개의 경우는 패배하는 수가 된다는 뜻입니다.

n = 5를 예시로 든다면, n = 5인 상태에서 상근은 남은 돌 1,2,4로 상태를 넘길 수 있습니다.

이 중 1개 돌이 남는 경우는 패배가 확정됩니다. 이런 경우가 3개 경우 중 1개라도 있다면 n = 5인 경우는 승리한다라고 볼 수 있습니다.

따라서 점화식을 이렇게 세울 수 있습니다.

// 기저사례
    dp[1] = false;
    dp[2] = true;
    dp[3] = false;
    dp[4] = true;
    for(int i = 5; i <= n; i++)
    {
        // 승리
        if(!dp[i - 4] || !dp[i - 3] || !dp[i - 1])
        {
            dp[i] = true;
        }
        // 패배
        else
        {
            dp[i] = false;
        }
    }

📚 새롭게 알게된 내용

이런 부류의 문제에서 쓰이는 이론이 게임 이론이라고 합니다. 예전에 관련된 내용을 찾아본 적이 있는데 백준 태그로 만나게 되니 느낌이 새롭네요.

게임 이론에 대해 가볍게 설명하는 나무위키 링크 하나 두겠습니다! 내용이 재밌으니 문제 푸신 다음 휴식 겸 읽어보시면 좋을 것 같아요 😄

[Seol-Munhyeok]

실버치고는 좀 어려운 문제인 거 같긴합니다

돌을 1개, 3개 또는 4개 가져갈 수 있으므로 돌이 N개 있을 때와 N-1, N-3, N-4 개 있을 때를 잘 관찰해보면 답이 나올 거라 생각했습니다.

일단 선공인 상근이 입장에서 N=5 까지 이기는지 지는지를 생각해보면

• N = 1 : 패배
• N = 2 : 승리
• N = 3 : 패배
• N = 4 : 승리
• N = 5 : 승리 (처음에 4개 가져가면 됨)

여기서 N=5 일 때, 처음에 4개 가져가서 창근이가 지게할 수 있었던 이유는 N-4인 1개 일 때 상근이가 졌기 때문에 N=5일 때 이 상황을 (돌이 1개만 남은 상황) 창근이에게 넘겨주었다고 생각할 수 있습니다.

이런 아이디어를 토대로 dp 테이블을 구성해서 풀 수 있고 저도 그렇게 풀었는데 규칙을 조금만 나열해보면 주기가 7로 규칙적으로 나오기 때문에 N을 7로 나눈 나머지가 1 또는 3이면 창영이 승, 그 외는 상근이 승 으로 O(1) 풀이도 가능하다고 합니다.

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게임이론 문제를 가져오셔서 생각난 문제인데 재미있는 게임이론 문제 중 약수 지우기 게임 1 이라는 문제가 있습니다.
https://www.acmicpc.net/problem/12107

이 문제도 풀어보시면 좋으실 거 같습니다.
"질 수밖에 없는 상황을 상대에게 넘긴다"는 생각으로 접근하면 쉽게 풀 수 있을 거 같습니다!!